蝴蝶定理公式大全（蝴蝶定理及四种平面几何证法简介）

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）:如图1，MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q，则A为PQ的中点。

蝴蝶定理因其形似蝴蝶而得名，证明方法较多，本文介绍四种平面几何证法供大家参考。

1. 霍纳证法

过点O作OF⊥CD，OG⊥EB，垂足分别为F、G，根据垂径定理得：CF=FD，EG=GB；

连接OP、OQ、AF、AG；连接OA，则OA⊥MN（图2）。

易证△CAD∽△EAB，则

AD/DC=AB/BE,因2DF=DC，2BG=BE，则AD/DF=AB/BG,

∠FDA=∠GBA=α，故△FAD∽△GAB，

∠AFD=∠AGB，∠AGQ=∠AFP（等角的补角相等）。

易证A、O、F、P和A、O、G、Q四点共圆，

∠AOP=∠AFP=∠AGQ=∠AOQ。

在Rt△AOP和Rt△AOQ中，

∠AOP=∠AOQ，AO=AO，则

Rt△AOP≌ Rt△AOQ，

AP=AQ，故A为PQ的中点成立。

2.对称法

过点D作MN的平行线交圆于F（图3），连接AO并延长交DF于H，则AH为DF的垂直平分线，故

∠PAD=∠ADF=∠AFD=∠QAF=θ，AD=AF。

在圆内接四边形EDFB中，∠EDF+∠EBF=180°，即

∠QAF+∠EBF=180°，故Q、A、F、B四点共圆，则

∠CDE=∠CBE=∠AFQ=α。

易证△PAD≌△QAF，故PA=AQ，

A为PQ的中点得证。

3.相似法

已知A为MN的中点，则AM=AN。

过点Q作CD的平行线交CB于F，交DE的延长线于G（图4），连接EF，易证G、E、F、B四点共圆。

根据相交弦定理则有：QG·QF= QE·QB,

PD·PC= PM·PN, QE·QB= QN·QM。

易证下列两组相似三角形：

△PAD∽△QAG，则PD/PA=QG/QA…………①；

△PAC∽△QAF，则PC/PA=QF/QA…………②，

将①x②得：

（PD·PC）/PA²=(QG·QF)/QA²，即

PA²/QA²=（PD·PC）/(QG·QF)

=（PM·PN）/(QE·QB)

=（PM·PN）/(QN·QM)

={（AM-PA）·（AN+PA）}/{（AN-QA）·（AM+QA）}

={（AM-PA）·（AM+PA）}/{（AM-QA）·（AM+QA）}

=（AM²-PA²）/（AM²-QA²），

即PA²/QA²=（AM²-PA²）/（AM²-QA²），根据比例性质：PA=QA。

4.利用梅涅劳斯定理

延长DC、BE交于点F（图5）根据割线定理和相交弦定理有：FE·FB=FC·FD，

PC·PD=PM·PN，

QE·QB=QM·QN。

因△FPQ为DE所截，根据梅氏定理有：

FE/EQ·QA/AP·DP/DF=1；

同理，△FPQ为CB所截，

FC/CP·PA/AQ·BQ/BF=1,则

FE/EQ·QA/AP·DP/DF= FC/CP·PA/AQ·BQ/BF，即

FE·QA·DP·CP·AQ·BF=FC·PA·BQ·EQ·AP·DF,即FE·FB·QA ²·PC·PD= FC·FD·PA²·QE·QB，

即QA ²·PM·PN= PA²·QM·QN，

即PA²/QA²=（PM·PN）/( QM·QN)，

剩余过程同相似法。