胡不归问题的数学解法（胡不归模型的本质及应用）

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危消息后，便立即启程回家。

由于思乡心切，他只考虑了路径最短，选择了全是沙砾地带的直线路径A→C（如图所示），而忽视了先走平路再走沙地的折线（A→D→C）。（假定平路上的速度大于沙地上的速度）。

当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。

倘若可以，他应该选择怎样的路线，回家时间更短？

其数学解释模型如下：

这里假定平路上的速度大于沙地上的速度

这个模型的特征：从定点A出发，沿着到一条定直线（平路）前进到D（点D为动点），然后从点D走到目的地（砂路）C（定点）。涉及到三个核心要素：两个定点和一条定直线。

下面从一道题分析：

将题目中的表达写成数学表达式：

1/3*AD+DC就是考试中经常出现的形式。

对比将军饮马的形式PA+PB，线段前的均为1；

胡不归基本模型可以表示为PA+k*PB，0＜k＜1

如果不满足0＜k＜1这个条件，需要对原条件进行处理：提取相应的系数，使得某条线段前的系数k满足0＜k＜1。

为什么必须0＜k＜1？

因为胡不归模型是需要通过特定变换（三角函数变换），将问题转换为PA+PB形式，再利用点到直线的垂线段最短这一基本原理求解。

这里所谓的特定变换就是将原来的定直线（“平路”）绕定点（理解为出发点）旋转特定的角度（α），得到一条新的定直线，从而目的地点到这条新直线的垂线即为所求。

注意这个特定的角度α，其正弦值sinα=k，因此0＜k＜1（不满足这条件就要提取系数）。

旋转点就是出发点，旋转方向理解为远离目的地方向，得到一条新直线（这条直线的位置是确定的）

回头看例题：

出发点为点A，AD前的系数k=1/3，以点A为中心，向左侧旋转α，sina=1/3

显然sin∠BAD=1/3，通过变换后得到直线为AB， 过点C作AB的垂线即为所求。

点到线段最短距离为垂线段

根据面积公式，很容易计算出CH=(4/3)√(2)(实际上是个时间单位)

CH与AO的交点就是所求点D'

如何求AD呢？

此图的点D实际是上图中的D‘

下面这道题：

分析要点：

第一问：注意到动点B在直线上运动，BM前面的系数为1/2，sin30°=1/2（典型的胡不归模型）

只需要绕点B，将BD顺时针（远离点A）方向旋转30°（根据图中菱形的性质，其实就是线段BC）

过点A向BC作垂线段即为AM+1/2BM的最小值

第二问：2AM+BM=2（AM+1/2BM）提取系数，使得BM前的线段系数小于1，再参照第一问。

第三问：AM+BM+MC=2AM+BM（菱形的对角线是菱形的一条对称轴），参照第二问。

（本问也可用费马点模型（旋转）来解决）

类似这样的结构的线段和最值还有一类问题叫阿氏圆模型。

两者的区别：胡不归模型的动点在直线上；阿氏圆模型的动点在圆上。